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  • Topologie faible

    Formulaire de report

    Topologie faible sur l'Espace vectoriel normé \((E,\lVert\cdot\rVert)\)
    Topologie d'un evtlc définie par la famille de semi-normes $$(\lvert\cdot\rvert_\varphi)_{\varphi\in E^*}\quad\text{ avec }\quad\lvert x\rvert_\varphi:=\lvert \varphi(x)\rvert$$
    • c'est la topologie la plus grossière qui rend continue les éléments du dual \(E^*\)
    • c'est une topologie séparée, mais pas métrisable en général


    Questions de cours

    START
    Ω Basique (+inversé optionnel)
    Recto: Donner une caractérisation de la continuité d'une fonction linéaire \(f\) en \(0\) pour la topologie faible.
    Verso: $$\exists\varepsilon\gt 0,\exists \varphi_1,\dots,\varphi_n\in E^\prime,\forall x\in E,\Big(\forall i\in[\![1,n]\!],\lvert \varphi_i(x)\rvert\lt \varepsilon\Big)\implies \lVert fx\rVert_F\lt 1$$
    Bonus:
    Carte inversée ?:
    END

    Exercices

    Soient \(E,F\) deux espaces vectoriels topologiques. On note \(E_w\) et \(F_w\) les espaces \(E\) et \(F\) munis de la topologie faible.
    Soit \(T:E\to F\) linéaire.
    Montrer que si \(T:E_w\to F\) est linéaire continue, alors \(\operatorname{dim}\operatorname{Im}(T)\lt +\infty\).

    Caractérisation de la continuité en \(0\).

    En déduire que si toutes les \(f_i\) annulent \(x\), alors elles annulent aussi \(\lambda x\) pour tout \(\lambda\gt 0\), et donc \(Tx=0\).

    On pose \(n+1\) éléments de \(\operatorname{Im} T\). On va montrer qu'ils ne forment pas une famille libre.

    Il suffit de trouver des \(\lambda_k\) tels que toutes les formes linéaires s'annulent (d'après les étapes précédentes).

    Montrer qu'il existe une solution non nulle au système linéaire en regardant son nombre d'équations et d'inconnues.


    Soient \(E,F\) deux espaces vectoriels topologiques. On note \(E_w\) et \(F_w\) les espaces \(E\) et \(F\) munis de la topologie faible.
    Soit \(T:E\to F\) linéaire.
    On sait que si \(T:E_w\to F\) est linéaire continue, alors \(\operatorname{dim}\operatorname{Im}(T)\lt +\infty\).
    Montrer qu'en dimension infinie, la topologie faible n'est pas équivalente à la topologie forte.

    On va utiliser la caractérisation avec \(\operatorname{Id}\).

    Elle est continue, mais sa réciproque ne l'est pas d'après la question précédente.



    \((1)\implies(2)\), on montre la continuité en \(0\) (ce qui est suffisant par linéarité)

    On va montrer que l'image d'un voisinage pour la topologie faible est un voisinage pour la topologie faible.

    On prend \(\Omega\) une intersection finie de semi-boules.


    On a \(Tx\in\Omega\) si et seulement si \(f_i\circ T(x)\lt \varepsilon\) pour tout \(i\).

    Or, \(\omega\) définie via les \(f_i\circ T\) est bien un voisinage de \(0\) pour la topologie faible puisque \(f_i\circ T\) est une forme linéaire \(\to\) cela nous permet de conclure.



    \((2)\implies(3)\), on montre la continuité en \(0\) (ce qui est suffisant par linéarité)

    On utilise le fait qu'un ouvert faible est un ouvert fort.



    \((3)\implies(1)\), on montre la continuité en \(0\) (ce qui est suffisant par linéarité)

    On va utiliser le Théorème du graphe fermé.

    Par continuité, on a la convergence faible, et puisqu'on a une convergence forte et que la convergence forte implique la convergence faible, on peut conclure.


  • Rétroliens :
    • Espace réflexif
    • Opérateur de rang fini